ディスプレイのppiを計算する

このところ、AppleのRetinaディスプレイなど、高解像度のディスプレイが増えています。
また、高解像度ディスプレイを搭載した機種では、解像度の指標として、ppi（pixel per inch、1インチあたりのピクセル数）が使われることも多いです。
そこで、ディスプレイのサイズと縦横のピクセル数から、ppiを計算する方法を紹介します。

1.ディスプレイのサイズの表し方

ディスプレイのサイズは、通常は対角線の長さで表します。
たとえば、7インチのディスプレイは、対角線の長さが7インチあることを意味します。

2.横幅を求める

ppiは、横方向の解像度（ピクセル数）をディスプレイの横幅で割れば求められます（ただし、個々のピクセルが正方形であるとします）。
しかし、前述したように、ディスプレイのサイズは対角線の長さで表すので、横幅は計算で求める必要があります。

ここで「三平方の定理」を使います。
三平方の定理は、直角三角形の斜辺（もっとも長い辺）の長さの2乗が、残り2辺のそれぞれの長さの2乗の和に等しい、という定理です。
斜辺の長さをc、残り2辺のそれぞれの長さをa／bとすると、「a²＋b²＝c²」が成り立ちます。

ディスプレイを対角線で上下半分に切ると、2つの直角三角形になります。
したがって、高さ／横幅／対角線の長さの間には、以下の関係が成り立ちます。

高さ²＋横幅²＝対角線²

また、横幅と高さの比を「アスペクト比」と呼びます。
個々のピクセルが正方形だとすれば、アスペクト比は縦横のピクセル数の比に等しいです。
たとえば、フルHD（1920×1080）だと、アスペクト比は1920：1080です。

比の内側の2つの値の掛け算と、外側の2つの値の掛け算は値が等しくなるので、以下の関係が成り立ちます。

高さ×横ピクセル数＝横幅×縦ピクセル数

この式の両辺を横ピクセル数で割ると、「高さ＝横幅×縦ピクセル数／横ピクセル数」を得ることができます。
この式を三平方の定理の式に代入すると、以下の二次方程式が得られます。
なお、式はMathMLで表示していますので、MathML未対応のWebブラウザの方は、こちらの画像で式をご覧ください。

${\displaystyle \; { \; \; \; \left( \; \; \; \; \; \mathrm{横幅} \; \; \; \; \; \times \; \; \; \; \; \frac{ \; \; \; \; \; \; \; \mathrm{縦ピクセル数} \; \; \; \; \; \; }{ \; \; \; \; \; \; \; \mathrm{横ピクセル数} \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \right) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; + \; { \; \; \; \mathrm{横幅} \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; ＝ \; { \; \; \; \mathrm{対角線} \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; } }$

この二次方程式を以下のように解いて、横の長さを対角線の長さから求めることができます（式の画像はこちら）。

${\displaystyle {\mathrm{横幅}}^2\times \left(1+\frac{{\mathrm{横ピクセル数}}^2}{{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}\right)={\mathrm{対角線}}^2}$

${\displaystyle {\mathrm{横幅}}^2\times \frac{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}{{\mathrm{横ピクセル数}}^2}={\mathrm{対角線}}^2}$

${\displaystyle {\mathrm{横幅}}^2=\frac{{\mathrm{横ピクセル数}}^2}{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}\times {\mathrm{対角線}}^2}$

${\displaystyle \mathrm{横幅}=\frac{\mathrm{横ピクセル数}}{\sqrt{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}}\times <!--multiplication\; sign-->\mathrm{対角線}}$

3.ppiを求める

ppiは、横方向のピクセル数を横幅で割って求めます。
2.の手順で求めた式から、ppiは以下のように求めることができます（式の画像）。

${\displaystyle \mathrm{ppi}=\mathrm{横ピクセル数}÷<!--division\; sign-->\left(\frac{\mathrm{横ピクセル数}}{\sqrt{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}}\times <!--multiplication\; sign-->\mathrm{対角線}\right)}$

${\displaystyle =\mathrm{横ピクセル数}\times <!--multiplication\; sign-->\frac{\sqrt{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}}{\mathrm{横ピクセル数}\times <!--multiplication\; sign-->\mathrm{対角線}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{{\mathrm{横ピクセル数}}^2+{\mathrm{縦ピクセル数}}^2}}{\mathrm{対角線}}}$

4.ppiを求める例

ppiを求める例として、MacBook Pro 15.4インチモデル（2880×1800ピクセル）を取り上げます。
3.で求めた式に代入すると、以下のようにppiを求めることができます（式の画像）。

${\displaystyle \mathrm{ppi}=\frac{\sqrt{{\mathrm{2880}}^2+{\mathrm{1800}}^2}}{\mathrm{15.4}}=\mathrm{220.53}}$